Пусть дан па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, при­чем Угол между диа­го­на­лью AC₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да и гра­нью CC₁D₁D равен углу между диа­го­на­лью AC₁ и ее про­ек­ци­ей DC₁ на плос­кость этой грани. Из усло­вия на­хо­дим:

Пря­мая DC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а по­то­му от­ку­да

Угол α равен углу между пря­мой AD₁ и плос­ко­стью BB₁D₁D, то есть углу между пря­мой AD₁ и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AK к пря­мой BD, тогда пря­мая D₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AK по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Сле­до­ва­тель­но, угол KD₁A  — ис­ко­мый. Вос­поль­зу­ем­ся тем, что длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы, а также тео­ре­мой Пи­фа­го­ра и по­лу­чим:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 475.

Пусть дан па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, при­чем Угол между диа­го­на­лью AC₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да и гра­нью CC₁B₁B равен углу между диа­го­на­лью AC₁ и ее про­ек­ци­ей BC₁ на плос­кость этой грани. Из усло­вия на­хо­дим:

Пря­мая BC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, а по­то­му от­ку­да

Угол α равен углу между пря­мой AB₁ и плос­ко­стью BB₁D₁D, то есть углу между пря­мой AB₁ и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AK к пря­мой BD, тогда пря­мая B₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AK по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Сле­до­ва­тель­но, угол KB₁A  — ис­ко­мый. Вос­поль­зу­ем­ся тем, что длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна про­из­ве­де­нию длин ка­те­тов, де­лен­но­му на длину ги­по­те­ну­зы, а также тео­ре­мой Пи­фа­го­ра и по­лу­чим:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 64.